Matrix

Matrix

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen (Elementen) mit einer bestimmten Anzahl an Zeilen (unten m) und Spalten (unten n). Sie wird mit einer großen Klammer links und rechts eingerahmt. Um einen Position in der Matrix anzugeben, verwendet man den Zeilenindex (unten i) zum Abzählen der Zeilen und den Spaltenvektor (unten j) zum Abzählen der Spalten.

mit i = 1; 2; …; m und j = 1; 2; …; n

Alle Zahlen, deren Zeilen- und Spaltenindex gleich sind, befinden sich auf der sogenannten Hauptdiagonalen.

Transponieren von Matrizen

Matrizen aller Art können transponiert werden. Dazu verwandelt man alle Zeilen in Spalten. Die erste Zeile wird zur ersten Spalte, die zweite Zeile wird zur zweiten Spalte, usw. oder anders ausgedrückt: Man vertauscht den Zeilenindex (i) und den Spaltenindex (j) und ordnet die Zahlen dementsprechend neu an.

aij = bji

Transponiert man eine bereits transponierte Matrix, so erhält man wieder die Ausgangsmatrix: (AT)T = A

Matrizentypen

Eine Matrix ist quadratisch, wenn ihre Anzahl von Zeilen und Spalten gleich sind, also m = n.

Eine quadratische Matrix ist symmetrisch (entlang der Hauptdiagonale), wenn aij mit aji identisch ist, also AT = A.

Eine Matrix ist eine Nullmatrix, wenn alle ihre Zahlen Null sind. Nullmatrizen mit unterschiedlicher Zeilen- und / oder Spaltenzahl sind nicht miteinander gleichzusetzen.

Eine quadratische Matrix ist eine Diagonalmatrix, wenn alle Zahlen außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind, also aij = 0 für i ≠ j.

Eine Diagonalmatrix ist eine Einheitsmatrix, wenn alle Zahlen auf der Hauptdiagonalen Eins sind, also aij = 1 für i = j.

Eine quadratische Matrix ist eine Obere Dreiecksmatrix, wenn alle Zahlen unter der Hauptdiagonalen Nullen sind, die Zahlen auf und über der Hauptdiagonalen können beliebig sein, also aij = 0 für i > j.
Eine quadratische Matrix ist eine Untere Dreiecksmatrix, wenn alle Zahlen über der Hauptdiagonalen Nullen sind, die Zahlen auf und unter der Hauptdiagonalen können beliebig sein, also aij = 0 für i < j.

Addition von Matrizen

Zwei Matrizen mit der selben Anzahl and Zeilen und Spalten können miteinander addiert werden, indem man jede Zahl der einen Matrix mit der sich an der gleichen Position befindenden Zahl der anderen Matrix addiert und sie an die gleiche Stelle der Ergebnismatrix schreibt.

Bei der Addition von Matrizen gilt das Vertauschungsgesetz.

Multiplikation mit einer Zahl

Wird eine Matrix mit einer Zahl multipliziert, so wird jedes Element der Matrix einzeln mit dieser Zahl multipliziert. Die Ergebnismatrix besitzt die gleiche Anzahl an Zeilen- und Spaltenvektoren, wie die Ausgangsmatrix.

Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gilt das Vertauschungsgesetz, das Verknüpfungsgesetz und das Verteilungsgesetz.

Multiplikation von Matrizen

Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die erste Matrix die gleiche Anzahl an Spaltenvektoren haben, wie die zweite Matrix an Zeilenvektoren hat. Dementsprechend gilt hier nicht das Vertauschungsgesetz. Die Ergebnismatrix hat dann jedoch so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite Matrix.

Bei der Multiplikation von Matrizen gilt das Verknüpfungsgesetz und das Verteilungsgesetz, jedoch nicht das Vertauschungsgesetz.

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